Jump to content
Piano Concerto - Forum pianoforte

dall'accordatura pitagorica al temperamento equabile


ScalaQuaranta
 Share

Recommended Posts

ciao a tutti

mi sto documentando per comprendere e replicare i calcoli aritmetici necessari per stabilire la lunghezza di corpi sonori per la successiva progettazione e costruzione di uno strumento musicale, percorrendo (se possibile) alcune tappe storiche intermedie: dall'accordatura pitagorica, passando dall'accordatura mesotonica e concludendo con il temperamento equabile.

mi spiego:

vorrei comprendere i calcoli effettuati da Pitagora per risolvere il seguente ipotetico problema:

"Siano dati 13 monocordi, impostati allo stesso modo: corda in acciaio, lunga 40cm, stessa tensione in ogni monocordo. Applicando le proporzioni pitagoriche (1:2, 2:3, 3:4), calcolare la posizione di ogni ponticello mobile affinché le 13 corde, possano riprodurre i suoni che compongono un'ottava di scala cromatica" 

N.B. la traccia del problema l'ho inventata io

risoluzione:

40cm = DO1 (primo suono - monocordo N°1)

40cm : 2 = 20cm = DO2 (ultimo suono - monocordo N°13)

40 cm x 2 : 3 = 26.67cm = SOL1 (monocordo N°8)

26.67 cm x 2 : 3 = 17.78cm (RE2); poiché si vuole restare entro l'estensione di un'ottava, per ottenere il RE1, si raddoppia il valore di RE2:

17.78 x 2 = 35.56cm (RE1)

e via dicendo...

ho effettuato i calcoli sia seguendo il circolo delle quinte (2:3) che il circolo delle quarte (3:4); lo scarto tra i due valori è compreso tra 0.29cm e 0.54cm. 

Il procedimento è corretto o sto sbagliando qualcosa?

 

per risolvere il medesimo problema ho impostato gli stessi ragionamenti applicando le proporzioni dell'accordatura mesotonica (che procede per terze maggiori: 4:5); ma non ho capito bene come fare per determinare tutti i 13 suoni dell'ottava di scala cromatica

 

invece.... per calcolare i moderni semitoni equabili, con una corda di 40cm, che calcolo devo fare?

so che la formula è composta da una radice dodicesima e qualche elevamento a potenza;

ho trovato le formule per il dimensionamento dei tubi sonori, in funzione della frequenza Hz (che si intende far ottenere al tubo) e alla velocità del suono. Ma con le corde del monocordo, volendo ragionare SOLO con la lunghezza della corda, come faccio?

è volersi fare del male, lo so... ;-S

buona musica

ScalaQuaranta 

Link to comment
Condividi su altri siti

  • 4 months later...

Se ti può ancora essere utile, puoi impostare un foglio di calcolo utilizzando la formula
Semitono-1 = Semitono / radice dodicesima di 2
ovvero in Excel
=CELLA/2^(1/12)
Poi copi la formula nelle celle precedenti
Nel tuo caso se inserisci il valore 40 nella cella M1, nella L1 scriverai =40/2^(1/12) e otterrai 37,755 (approssimato al millesimo); poi copia il contenuto di L1 in K1 e otterrai 35,636 ecc.. fino ad arrivare a A1 in cui avrai 20 (l'ottava soperiore)

Link to comment
Condividi su altri siti

ciao Zedef, grazie per il tuo intervento!

perdonami, però... non sono molto pratico di fogli di calcolo excel, quindi mi risulta difficile seguire il tuo ragionamento! ;-S

per intenderci.... data una corda lunga p.es. 40 cm, assegnandole per convenzione il suono DO CENTRALE (do esterno al pentagramma, taglio in testa, in basso, chiave di sol), che calcoli devo fare per ricavare le varie lunghezze della corda per ottenere un'ottava cromatica (DO, DO#, RE, RE#, ecc.) in temperamento equabile?

DO (centr.) = 40cm

DO# = ?

RE = ?

RE# = ?

ecc.

 

Non capisco la dicitura "Semitono-1 = Semitono/radice dodicesima di 2"

grazie e buona serata

ScalaQuaranta 

 

Link to comment
Condividi su altri siti

Ciao, ti scrivo le misure approssimate al centesimo.
Do=40 cm; Do#=37,75; Re=35,64; Mib=33,64; Mi=31,75; Fa=29,97; Fa#=28,28; Sol=26,70; Sol#=25,20; La=23,78; Sib=22,45; Si=21,19; Do=20
Il calcolo sembra complesso ma in realtà è banale. Per ottenere il semitono sopra, dividi la lunghezza del semitono per radice dodicesima di 2. Con un foglio di calcolo è immediato, se no calcolatrice 🙂
Ad es, prendendo i 40 cm (DO) per ottenere il DO# occorre fare 40 diviso radice dodicesima di 2 (che è 1,05463 ecc..): viene 37,75 e rotti.
Poi da 37,75
diviso radice dodicesima di 2 viene 35,64 e rotti.. ecc..

Link to comment
Condividi su altri siti

  • 1 month later...

ciao, Zedef, ringraziandoti ancora una volta per il tuo precedente prezioso intervento, vorrei chiederti un'altra cosa, sempre sullo stesso argomento.

Che tu sappia, esiste una formula matematica che consenta, sostituendo di volta in volta gli opportuni parametri, di calcolare direttamente la lunghezza della corda in riferimento a un preciso intervallo? cerco di essere più chiaro con un esempio:

"sia data una corda libera di un monocordo, lunga 40cm che, sollecitata, produca un certo suono-base che chiameremo DO. 

Domanda: quanto dovrà essere lunga la corda (accorciandola con un ponticello mobile o premendola con un dito) affinché il nuovo suono prodotto sia esattamente una QUINTA GIUSTA sopra il DO iniziale? e per una SETTIMA MINORE? e per una QUARTA ECCEDENTE?"

vado a intuito.... ho il sentore che uno dei parametri di questa ipotetica formula sia la distanza intervallare (quantificata in semitoni) tra il DO iniziale e il nuovo suono da realizzare. di conseguenza:

- QUINTA GIUSTA: 7 semitoni

- SETTIMA MINORE: 11 semitoni

- QUARTA ECCEDENTE: 6 semitoni

tra l'altro, immagino che, trattandosi di una formula "generale" chissà se potesse calcolare anche A RITROSO, ossia considerando anche intervalli DISCENDENTI e, quindi, considerando anche solo virtualmente un ALLUNGAMENTO della corda, anziché un ACCORCIAMENTO?!

grazie e buona estate

ScalaQuaranta

Link to comment
Condividi su altri siti

  • 3 weeks later...

Ciao, scusa il ritardo ma ero in vacanza. La formula esiste, certo. Parti da quella base che ti dà la lunghezza del semitono superiore:

=LUNGHEZZACORDALIBERA/2^(1/12) [questa è la formulazione Excel, in cui al posto di LUNGHEZZACORDALIBERA metterai la cella con la misura di riferimento, ad esempio 40].

Sostituendo al numero 1 nella parentesi il numero di semitoni che ti servono, ottieni la lunghezza.

Ad esempio:

per la quinta giusta (7 semitoni), la formula è =LUNGHEZZACORDALIBERA/2^(7/12); partendo da 40 cm, ottieni 26,70 (arrotondato al centimetro)

per la settima minore (11 semitoni), la formula è =LUNGHEZZACORDALIBERA/2^(11/12); partendo da 40 cm, ottieni 21,19 (arrotondato al centimetro).

Per il calcolo delle lunghezze relative ai semitoni discendenti, basta sostituire la moltiplicazione (*) alla divisione (/):

=LUNGHEZZACORDALIBERA*2^(1/12).

Provo ad allegarti un'immagine con i calcoli. In ogni caso puoi scrivermi un messaggio privato così possiamo sentirci direttamente.

 

calcoloExcel.jpg

calcoloExcel.pdf

Link to comment
Condividi su altri siti

  • 7 months later...

Ciao, a tutti.

Ho una domanda specifica per Zedef, con cui avevo aperto una discussione tutt'ora work in progress.

La questione è la seguente:

da quanto ho appreso, il ragionamento matematico che porta alla scala diatonica pitagorica (considerando il parametro LUNGHEZZA della corda vibrante) è la seguente:

  • 1:2 = ottava; 2:3 = quinta perfetta; 3:4 = quarta perfetta
  • si consideri una corda vibrante L lunga p.es. 60 cm

 

  • DO1 = 60 cm
  • SOL1 = 60 x 2:3
  • RE1 = 60 x (2:3)^2 x 2
  • MI1 = ecc.
  • FA1 = 60 x (2:3)^(-1) x (1:2)
  • ecc.

 

  • poi, ad un certo punto, in molti dei libri letti finora sul tema, appaiono i rapporti relativi a: 

         - terza maggiore: 4:5;   - terza minore: 5:6;   - sesta maggiore: 3:5;   - sesta minore: 5:8

 

  • la mia domanda è: questi ultimi rapporti sono originati da calcoli matematici successivi oppure nascono da una constatazione diretta derivata dall'ascolto della corda vibrante, così come è per l'ottava e la quinta?
  • ho letto che l'intervallo di TONO si calcola sottraendo l'intervallo di quarta dall'intervallo di quinta: (2:3) / (3:4) = 2:3 x 4:3 = 8:9
  • anche le terze/seste sono state calcolate con ragionamenti simili?

grazie

ScalaQuaranta

Link to comment
Condividi su altri siti

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Rispondi a questa discussione...

×   Incollato come rich text.   Incolla come testo normale invece

  È permesso solo un massimo di 75 emoticon.

×   Il tuo link è stato incorporato automaticamente.   Visualizza come collegamento

×   Il tuo contenuto precedente è stato ripristinato.   Cancella editor

×   Non è possibile incollare direttamente le immagini. Carica o inserisci immagini dall'URL.

Loading...
 Share

×
×
  • Crea nuovo...